不等式选讲知识点归纳及近年高考真题

考点一：含绝对值不等式的解法

例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|. （I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.

x2,3,解：（I）f(x)|x2||x5|2x7,2x5,当2x5时,32x73. 所以3f(x)3.

3,x5.（II）由（I）可知，当x2时,f(x)x8x15的解集为空集；

2 当2x5时,f(x)x8x15的解集为{x|53x5}；

2 当x5时,f(x)x8x15的解集为{x|5x6}.

2综上，不等式f(x)x8x15的解集为{x|53x6}.

2变式练习：1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7] （B）[-4,6] （C）(,5][7,) （D）(,4][6,) 【答案】D 2.若存在实数x使|xa||x1|3成立，则实数a的取值范围是 ．

【答案】2a4【解析】|xa||x1|3表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即a13， 则2a4

1.已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合AB=________. 【答案】xR|2x5

3. (2011年高考广东卷理科9)不等式x1x30的解集是______. 【解析】{x|x1}。由题得|x1||x3|(x1)(x3)221tx1 所以不等式的解集为{x|x1}。

4．若关于x的不等式ax1x2存在实数解，则实数a的取值范围是 【答案】(,3][3,) 【解析】：因为x1x2|x1x2|3所以ax1x2存在实数解，有a3a3或a3 5.(2011年高考江苏卷21)解不等式：x|2x1|3 原不等式等价于：x32x13x,2x44，解集为(2,)

336. (2011年高考全国新课标卷理科24)设函数f(x)xa3x,a0

（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

解：（Ⅰ）当a1时，不等式f(x)3x2，可化为，x12

x1,x3，所以不等式f(x)3x2的解集为xx1,或x3

（Ⅱ）因为f(x)0，所以，xa3x0，可化为，

xaxaxaxa 即或a或a

xxxa3x0ax3x042因为，a0所以，该不等式的解集是xx，再由题设条件得a2a1,a2 27．（2010年高考福建卷理科21）已知函数（Ⅰ）若不等式

的解集为

。

，求实数的值；

对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若【解析】（Ⅰ）由

得

，解得

，

又已知不等式（Ⅱ）当

时，

的解集为

，设

，所以，解得，于是

。

=

当

时，

；当

，所以 时，

；当

时，

。

考点二：不等式的证明与柯西不等式 例：已知实数x，y满足：|xy|511求证：|y|． ，|2xy|，1836【答案】证明：∵3|y|=|3y|=|2xy2xy|2xy2xy， 由题设|xy|511115∴3|y|<=。∴|y|。 ，|2xy|，1836366变式练习：1辽宁24. 已知fx=ax+1aR，不等式fx3的解集为x-2x1 （1）求a的值 （2）若fx-2fxk恒成立，求k的取值范围 2【解析】（1）由ax+13得-4ax2，又fx3的解集为x-2x1，所以当a0时，不合题意 当a>0时，-42x，得a=2 aa1,x-11x（2）记hx=fx-2f，则hx=-4x-3,-1221-1,x-22．设不等式2x-1＜（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小． 1的解集为M．解：（I）由|2x1|1得12x11,解得0x1.所以M{x|0x1}.

（II）由（I）和a,bM可知03解：（1）f(x)2x13(x1)(1x2)，又当1x2时，32x13，∴3f(x)3 (x2)（2）当x1时，x22x31x2x—1；

当1x2时，x22x2x11x11x1；当x2时，x22x3x； 综合上述，不等式的解集为：1,1 4．设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R

(Ⅰ)解不等式f(x)≤5； (Ⅱ)若g(x)1的定义域为R，求实数m的取值范围.

f(x)m

5．设函数f(x)|2xm|4x.

（I）当m=2时，解不等式：f(x)≤1；

（Ⅱ）若不等式f(x)2的解集为{xlx≤—2}，求m的值。