中考几何 半角模型

半角

例题：

如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，

则ADBNn，CDCN，∠ACD∠BCN， ∴∠MCD∠ACM∠ACD

DAMNBCACM∠BCN

904545MCN． ∴MDC≌MNC， ∴MDMNx

又易得DAM454590，

∴在RtAMD中，有m2n2x2，故应选(B)

练习：

1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ的度数．

2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45，AHEF，H为垂足， 求证：AHAB．

DCQAPBA

DFH

BEC------ 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 1 of 4

小马成群

3、如图所示，在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN45，记AMm，MNx，BNn，求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形.

4、已知：如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

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DBE图2CACAmMxNnBABD图1EC小马成群

解析：

1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ的度数 解： 把CDQ绕点C旋转90到CBF的位置，CQ=CF．

∵AQAPQP2， 又AQQDAPPB2， ∴QD+BP=QP． 又DQ=BF， ∴PQ=PF． ∴QCP≌FCP． ∴QCPFCP． 又∵QCF90， ∴PCQ45．

2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45，AHEF，H为垂足， 求证：AHAB．

解： 延长CB至G，使BGDF，连结AG，

易证△ABG≌△ADF，

QAPBQAPBFDCDCADFHADFH∠BAG∠DAF，AGAF． 再证△AEG≌△AEF， 全等三角形的对应高相等

(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．

BECGBEC3、如图所示，在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN45，记AMm，MNx，BNn，求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形.

解： 法１：如图所示，将CBN绕点C顺时针旋转90，得到CAD.

连接MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN，

故MCDACMACDACMBCN904545MCN， 从而MDC≌MNC， 则MDMNx.

而DAM454590，

故在直角三角形AMD中有m2n2x2.

法2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答． 如图所示，以CM为对称轴将CMA翻折到CMP的位置． 易证CPN和CBN关于CN对称，且PMN为直角三角形， 并且可得PMAMm，PNNBn，MNx．

AMPNBADnAmMxNnBCmMxCNnBC------ 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 3 of 4

小马成群

4、已知：如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

⑴ DE2BD2EC2

证明： 根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE

∴AEC≌ABE

∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB 在RtABC中 ∵ABAC

∴ABCACB45 ∴ABCABE90 即EBD90 ∴EB2BD2ED2 又∵DAE45 ∴BADEAC45 ∴EABBAD45 即EAD45

DBE图2CAABD图1EC≌AED ∴AED∴DEDE ∴DE2BD2EC2

⑵ 关系式DE2BD2EC2仍然成立

证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE ∴AFD≌ABD ∴AFAB，FDDB

BDEE'CAFADBAD，AFDABD

又∵ABAC，∴AFAC

∵FAEFADDAEFAD45

AFEACBACBAE90DAEDAB45DAB ∴FAEEAC 又∵AEAE ∴AFE≌ACE

∴FEEC，AFEACE45

DBECAFDABD180ABC135

∴DFEAFDAFE1354590 ∴在RtDFE中

DF2FE2DE2即DE2BD2EC2

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