金融数学第一章练习题详解(最新整理)

金融数学第一章练习题详解第 1 章利息度量1.1现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。600i2150i12.5%2000(112.5%)32847.651.2在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T。1004vT/12314v1/12271v18/12其中vt(1i)t(15%)t1.05t1.05T/12(3141.051/122711.0518/12)/10040.562352Tln1.05ln0.56235212Tln0.562352/ln1.0512141.58两边取对数，1.3在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X，按利率 i（单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i。iii1A的半年实际利率为，A:X((1)16(1)15)B:2XiXi2222iiX((1)16(1)15)Xi22iiiii(1)16(1)15(1)152222i(1)1522两边取对数i(21/151)20.0945881.4一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n。ln1ia(t)(1i)tete27.722ln2/27.720.025i0.5（12)n/27.04n(ln7.04/ln1.05)2801.5如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。100(146%)1/42114.711.6如果 i(m)= 0.1844144 ， dmm(m)= 0.1802608 ，试确定 m。imdm1i11mmimdm111mmimdm111mmmm1dimdmimdm11mm2imdmmmidmimdm0.18441440.1802608mm8mid0.18441440.18026081.7基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以t= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。t112%/1212tt/6dt20eet/12两边取对数，12tln1.01t2/12t144ln1.011.431.8基金 A 以 t= a+bt 的利息力累积。基金 B 以t= g+ht 的利息力累积。基金 A 与12基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n。(atbt(abt)dta(t)e0e2tt)(gtht(ght)dt0b(t)ee2a(0)b(0),a(n)b(n)12)11anbn2gnhn2222(ga)nbh1.9在零时刻将 100 存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 为 260。求δ。t1的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值1t指前两年内的年名义贴现率100(1/4)-42e21tdt51260100(1/4)-42e(ln6ln3)26041260/(1002)-1/80.12901.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1+t2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。A12t,Bt11t212t2令ABt2t10t210.412t11t2。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元1t1.11 已知利息力为t的现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X元的现值。求 X。a(t)e01tdtt2e2ln(1t)(1t)2a1(t)(1t)2300a1(3)600a1(6)200a1(2)Xa1(5)X(300(13)2600(16)2-200(12)-2)/((15)2)315.82t311.12 已知利息力为t。请求a(3)。100a(3)e10100dt3t3e1/400(340)e81/400e0.20250.81671.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。A:a(t)(110%t)10.1tA0.110.1t0.0510.05tB:a1(t)(15%t)10.05ta(t)(10.05t)1B令AB0.10.052-0.1t10.1tt510.1t10.05t1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为 5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定0.5。设累积函数为a(t)at2btca(0)c1a(0.5)0.25a0.5bc15%/2a(1)abc17%a0.04,b0.03,c1,a(t)0.04t20.03t10.08t0.030.068290.04t20.03t1t0.50.51.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X。此基金按利息力t2t累积利息，其中 t > 0。从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X，求 X。100A(3)100e0100dt3t2X109.42Xt2dt31006A(6)(109.42X)e1.8776(109.42X)A(6)A(3)0.8776(109.42X)XX784.611.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：0.02t,0t3t0.045,t3求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。0.02tdt0.045dt3a(4)e0e0.090.0451.144534设年名义利率为x,1000(1x/4)4410001.1445x4(1.14451/161)0.03393.39%1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。a(t)(17.5%/2)2ttln(17.5%/2)20.07363设名义贴现率为x,(1x/4)4t(17.5%/2)2tx4(1-(17.5%/2)2(1/4))0.07295tx0.14658注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义kt,0t51.18 假设利息力为t12，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到 kt,5t10252.7183。试求 k。a(t)ek0.04140ktdt551012ktdt25e251kk(1000125)275e24.1667k2.71831.19 已知利息力为t息是 8。试求 n。1，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利2ta(t)e02tdtt1eln(2t)ln21t2a(n)11n18n1621.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为 0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。0.1(t1)A1000e022dt1000e0.066671068.941.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入 30，已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求 n。A:10(111%10)30(111%5)67.5B:10(19.15%)10n30(19.15%)102n10(19.15%)10n30(19.15%)102n67.5令t1.0915n,即nlnt/ln1.0915101.091510t301.091510t267.5101.091510(101.091510)24301.091510(67.5)t0.80172301.0915101.0915102.40014nln0.8017/ln1.09152.5244注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将2.5244带进去右边=66,将1.262代进去，右边=80,由此可得2.5244接近真实结果1.22 已知利息力为t2，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相t1应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。a(n)a(2)e2t1dtn2a(2)(n1)2a(n)a(n1)(n1)2(n2)2dna(n)(n1)2(1d(2)/2)21dnd(2)2(1(1dn)1/2)2(1(n2)2)(n1)(n1)