云南省玉溪一中2013届高三第四次月考 理科数学

玉溪一中2013届第四次月考试卷

理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数(1ai)2（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a（ ）

A.1 B.1 C.0 D.1 2．已知p:“a,b,c成等比数列”，q:“bac”，那么p成立是q成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分又非必要条件 3．已知函数f(x)2sin(x)(0,0π)的图象 如图所示，则等于（ ） A．

12 B．1 C． D．2 33

(第3题图 )

xc4．关于x的不等式(xa)(xb)0的解为1x2或x3，则点P(ab,c)位于 （A）第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限 5．在ABC中，若

acosA2bcosB2ccosC2，则ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

6．某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于C7+C5C7的是（ ）

5C12

A.P1

B.P1

C.P1

D.P2

51427．如右图,在△ABC中,AN1NC,P是BN上的一点,若APmABAC,则实数m的值

93为( ) A.

11 B C. 1 D. 3 93a1a2a3a4=a1a4a2a3．将函数f(x)8．定义行列式运算

sin2xcos2x31的图象向左平移个单6位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）

- 1 -

A． C．,0 D．,0 ,0 B．,042 3 12 1（x为有理数）

9．函数f(x) ， 则下列结论错误的是 ( ) （x为无理数）

0 A． f(x)是偶函数 C． f(x)是周期函数

B．方程f(f(x))x的解为x1

D．方程f(f(x))f(x)的解为x1

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S150,S160,则

SS1S2,,,15中最大的项为 a1a2a15A.S6SSS B.7 C.9 D.8 a6a7a9a811．函数yf(x)为定义在R上的减函数，函数yf(x1)的图像关于点（1,0）对称， x,yO为坐标原点，满足不等式f(x22x)f(2yy2)0，则当1x4M(1,2),N(x,y)，

时，OMON的取值范围为 （ ）

A．12, B．0,3 C．3,12 D．0,12

12．在抛物线yx2ax5(a0)上取横坐标为x14,x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x25y236相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）

A．(2,9)

B．(0,5)

C．(2,9)

D．(1,6)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是 14．对于满足0a4的实数a，使x2ax4xa3恒成立的x取值范围是 15．过椭圆左焦点F，倾斜角为心率为

16．已知正三棱锥PABC，点P,A,B,C都在半径为3的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________. 三．解答题：本大题共6小题，共70分.

的直线交椭圆于A，B两点，若FA2FB，则椭圆的离3 - 2 -

17．（本题12分）在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn 的各项均为正数，b11，公比为q，且b2S212，q（1）求an与bn；（2）设数列cn满足cnS2. b21，求cn的前n项和Tn. Sn 18．（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ. 19．（本题12分）如图6，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点. （1）求证：B1EAD1；

（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE?若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；

（3）若二面角AB1EA1的大小为30°，求AB的长.

图6

20．（本题12分）（Ⅰ）已知函数f(x)x2lnxax在(0,1)上是增函数,求a的取值范围;

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设g(x)e2xaex1，x0,ln3,求g(x)的最小值.

21．（本题12分）如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点

（1）写出抛物线C2的标准方程； （2）若AM1MB，求直线l的方程； 2 - 3 -

（3）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆

C1的长轴长的最小值。

请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。 22．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C:sin2acos(a2x20)，已知过点P(2,4)的直线l的参数方程为：y42t2， 2t2直线l与曲线C分别交于M,N两点。

（Ⅰ）写出曲线C和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值． 23．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》 已知函数f(x)|2x1||2x3|. （Ⅰ）求不等式f(x)6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)|a1|的解集非空，求实数a的取值范围.

- 4 -

玉溪一中2013届第四次月考试卷

理科数学答案

一． 1 A

2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D 11 D 12 A 13．-30 14. (－∞，－1)∪ (3，＋∞)．15.

17. 解:（1）设

23 16. 33an的公差为d.

b2S212,q6d12，S26d 因为所以q．q,qb2解得 q3或q4（舍），d3.

故an33n13n ，bn3n1.

n33n，

212211所以cn.

Snn33n3nn1（2）由（1）可知，Sn故Tn21111212n1. 1…13223nn13n13n1

12

18. 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰

3312－

有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci43i34i.

12228

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C2433＝27. （2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4， 由于A3与A4互斥，故

1321414

P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C＝. 434339

1

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.

9

（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.

由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故

8

P(ξ＝0)＝P(A2)＝，

27

40

P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，

8117

P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.

81

所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 84017P 278181()()

()()

()()()

- 5 -

84017148

随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×27＋2×81＋4×81＝81

→→→

19. 解:（1）以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).

aa→→

设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E2，1，0，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，B1E＝－2，1，－1，

a→→

AB1＝(a,0,1)，AE＝2，1，0.

a→→

因为AD1·B1E＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

2

所以B1E⊥AD1.

()()

()

（2）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)， →

使得DP∥平面B1AE.此时DP＝(0，－1，z0). 又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z).

ax＋z＝0，→→

因为n⊥平面B1AE，所以n⊥AB1，n⊥AE，得ax

2＋y＝0.

a

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－2，－a.

()

a1→

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，解得z0＝.

22

1

又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.

2

（3）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. 因为B1C∥A1D，所以AD1⊥B1C.

又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

→→

所以AD1⊥平面DCB1A1.所以AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1). →

设AD1与n所成的角为θ，

a

→－－a

2n·AD1则cosθ＝＝.

→a22|n||AD1|21＋＋a

4

因为二面角A－B1E－A1的大小为30°，

3a23

所以|cosθ|＝cos30°，即2＝2， 5a

21＋

4

解得a＝2，即AB的长为2. 20. 解:（1）

11a,∵f（x） 在（0，1）上是增函数,∴2x+xx11即a≤2x+恒成立, ∴只需a≤（2x+）即可. …………4分

xxf(x)2xmin

-a≥0在（0,1）上恒成立,

∴2x+

2时取等号） , ∴a≤22 …………6分 2x（2） 设et,x0,ln3,t1,3.

≥21x2 （当且仅当x=

aa2a2) ，其对称轴为 t=，由（1）得a≤22， 设h(t)tat1(t)(12242

- 6 -

∴t=

a3≤2＜…………8分 22aaa2则当1≤≤2,即2≤a≤22时,h（t）的最小值为h（）=-1-224a当＜1,即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a …………10分 2a2当2≤a≤22时g（x） 的最小值为-1- , 4,

当a＜2时g（x） 的最小值为-a. …………12分

21. 解：（1）(2)设

（3）

椭圆设为 消元整

22. 解：（Ⅰ）

y22ax,yx2. ……………..5分

- 7 -

x2（Ⅱ）直线l的参数方程为y422t2（为参数）,

t2t2代入y2ax, 得到t22(4a)t8(4a)0， ………………7分 则有t1t222(4a),2t1t28(4a).

222因为|MN||PM||PN|，所以(t1t2)(t1t2)4t1t2t1t2. 解得 a1.

23. 解：（Ⅰ）原不等式等价于

3311x,x,x,或2或 222(2x1)(2x3)6,(2x1)(2x3)6,(2x1)(2x3)6.解之得

3131x2,或x,或1x. 2222即不等式的解集为{x|1（Ⅱ）x2}. ………………5分

fx2x12x32x12x34.

a14，解此不等式得a3或a5. ………………10分

（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）

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