相似三角形模型讲解-一线三等角问题

.

第一局部 相似三角形模型分析

一、相似三角形判定的根本模型认识

〔一〕A字型、反A字型〔斜A字型〕

AADDEECB〔平行〕

BC〔不平行〕

〔二〕8字型、反8字型

AAOCDCBBJD〔蝴蝶型〕

〔平行〕 〔不平行〕

〔三〕母子型

AADDBCC

〔四〕一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景

. .word.zl.

.

.

〔五〕一线三直角型：

（六）双垂型：

ADC

. .word.zl.

.

.

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展

AAEFGDBCE共享性BC

一线三等角的变形

一线三直角的变形

. .word.zl.

.

.

第二局部 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：OCOAOE．

2

例2：：如图，△ABC中，点E在中线AD上,DEBABC．

求证：〔1〕DBDEDA； 〔2〕DCEDAC．

2B

D

E C A

例3：：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证：BEEFEG．

2

相关练习：

1、如图，AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FDFBFC．

2

. .word.zl.

.

.

2、：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB

3、：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB

2

4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：GBM90

5．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕、〔3〕小题总分值各5分〕

：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D〔点D与点A、C都不重合〕，E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． 〔1〕求证：AE=2PE；

〔2〕求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； 〔3〕当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

A P D E

〔第25题图〕

AMEHBDFGCB C . .word.zl.

.

.

双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：〔1〕△ABD∽△ACE；〔2〕△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

AED2、如图，锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

BACEBDC

共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

AD2、：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求证：〔1〕△ABE∽△ACD；〔2〕BC22BECD．

BCE

A

BDE. .word.zl.

C.

.

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° 〔1〕求证：△BDE∽△CFD 〔2〕当BD=1，FC=3时，求BE

B

D E A

F

C

例2：〔1〕在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上〔点P不与点C、点B重合〕，且保持APQABC.

①假设点P在线段CB上〔如图〕，且BP6，求线段CQ的长；

②假设BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

A Q B

（2）正方形ABCD的边长为5〔如下列图〕，点P、Q分别在直线．．CB、DC上〔点P不与点C、点B重合〕，且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.

A

D

C

A

D

A

D

P

C

A A B

备用图

C

B

备用图

C

B

B

C

B

C

例3：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

. .word.zl.

.

.

〔1〕如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

A ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

〔2〕如果点P在AD边上移动〔点P与点A、D不重合〕，且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长．

ADP D B C

BC

ADBC

例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF． 〔1〕求证：△MEF∽△BEM；

〔2〕假设△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； 〔3〕假设EFCD，求BE的长．

. .word.zl.

.

.

相关练习：

1、如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且

ADEC．

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

A E

B D

C

2、如图，在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并

作DEFB，射线EF交线段AC于F．

〔1〕求证：△DBE∽△ECF； 〔2〕当F是线段AC中点时，求线段BE的长； 〔3〕联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

AFDBE

C3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

〔1〕如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； 〔2〕如果点P在BC边上移动〔点P与点B、C不重合〕，且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，

. .word.zl.

同时交直线AD于点M，那么

.

.

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当SDMF

9SBEP时，求BP的长． 4A E

D

E

C

A D

B

P

〔第25题

B

〔备用图〕

C

4、如图，边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N， 〔1〕写出图中与BEF相似的三角形； 〔2〕证明其中一对三角形相似；

〔3〕设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围； 〔4〕假设AE1，试求GMN的面积．

备用图

一线三直角型相似三角形

例1、矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值围。

. .word.zl.

.

.

APDEBAO2，点P是AC上的一个AB5C例2、在ABC中，C90o,AC4,BC3,O是AB上的一点，且

动点，PQOP交线段BC于点Q，〔不与点B,C重合〕，设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。

【练习1】

CQPBOAC90,AB5,tanB在直角ABC中，

o3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE4A交射线AC于点F 〔1〕、求AC和BC的长 〔2〕、当EF//BC时，求BE的长。 〔3〕、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。

EFCDBAEFCDB. .word.zl. .

.

【练习2】

在直角三角形ABC中，C90o,ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，〔与A,C不重合〕，DFDE,DF与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时，求证：DEDF

ADDEm，求的值 DBDFAD1，设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域 〔3〕、当ACBC6,DB2(2)、当

CCFEFEADBADB【 练习4】]如图，在ABC中，C90，AC6，tanB3，D是BC边的中点，E为AB边上4的一个动点，作DEF90，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．

〔1〕求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；

〔2〕如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.

【 练习5】、

如图,在梯形ABCD中，ABCD, AB2,AD4,tanC个动点(不含点B、C),作PQAP交CD于点Q.(图1)

. .word.zl.

40，ADCDAB90,P是腰BC上一3 (1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当PQDQ时,求BP的长；(图2)

.

.

(3)设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域. A B P

D 〔图Q 1〕 C . A B

P D 〔图2〕Q

C

.word.zl.