第２５卷第５期 重庆工商大学学报（自然科学版） ２００８年ｌ０月 Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．５ Ｊ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ％ｃ￣ｏｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｕｎｉｖ．（Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅｄ） ０ｃｔ．２ｏｏ８ 文章编号：１６７２—０５８Ｘ（２００８）０５—０４６４—０３ 积分区域边界上含奇点的Ｇｒｅｅｎ公式应用 唐玉华 （西华师范大学数学与信息学院，四川南充６３７００２） 摘要：研究了积分区域的边界上含有奇点的Ｇｒｅｅｎ公式的应用，降低了通常意义下Ｇｒｅｅｎ 公式的条件，获得了更广泛的应用；结论的应用可以更快捷、更方便地处理积分区域的边界上含 有奇点的第２类曲线积分的计算问题． 关键词：格林公式；曲线积分；奇点；边界曲线 中图分类号：Ｏ １７７．９１ 文献标识码：Ａ １８５４年，英国著名数学家、物理学家格林在《数学杂志》上指出：“设闭区域Ｄ由分段光滑的曲线 围 成，函数Ｐ（ ，Ｙ）及Ｑ（ｘ，Ｙ）在Ｄ上具有一阶连续偏导数，则有： 『Ｊ（ Ｏｘ—Ｏ Ｐ］ｄｘｄ），＝ ｄｘ＋Ｑｄｙ （１） 其中， 是Ｄ取正向的边界曲线． 这就是通常意义下的Ｇｒｅｅｎ公式．它要求函数Ｐ（ ，Ｙ）及Ｑ（ｘ，Ｙ）在Ｄ上具有一阶连续偏导数，但若包 含闭区域Ｄ的边界上含有奇点，形如４）÷ ＋ 的曲线积分，被积式的分母 （ ，Ｙ），叼（ ，Ｙ）含有奇点 时，式（１）不能直接运用．现在把它加以推广． 定理１ 若 在平面区域Ｄ内，￡为无重点的任意一条分段光滑的闭曲线，闭曲线 的边界 上含有 奇点Ｍ，函数Ｐ（ｘ，），），Ｑ（ ，ｙ）除点Ｍ外在Ｄ上处处存在连续的偏导数，且满足 ａｆ旦１ ａ＝ ｆ导１ ． ａ ｏｙ 当Ｍ隹￡时，曲线积分（６导 ＋ ｄＹ为零；当Ｍ Ｅ Ｌ时，曲线积分 导 ＋ ｄＹ为一常数．这时，选择 一个适当小的包围 中与 同向的闭曲线￡。，将 挖去（所围闭区域为 Ｊ Ｌ Ｄ。）．为便于计算，一般情形，此类辅助曲线均可由分母部分取为常数 得 到．取： （ ，，，）＝ （ ，，，）＝Ｋ（Ｋ为常数），有： ＋ ＬＯ 憎Ｑ： （等一 ）岫 证明・当Ｍ隹Ｌ时，由通常曲线积分与路经无关的条件，式（２）成立． Ｏ 当Ｍ∈Ｌ时，如图１，取 ＞０充分小，使奇点 在中心，半径为 的小 圆周 ，所围闭区域为 ，对Ｖ（ ，，，）∈Ｄ—Ｄｏ，取 （ ，ｙ）＝＇７（ ，ｙ）＝ 图１ Ｍ Ｅ￡ （Ｋ为常数），有： ＋詈 。一点 旺（ 一ｏ（ｐ…／ｏ￣．）Ｉｄｘｄｙ－ ＝ ＬＯ￣ Ｐ ／ｆ＆＋Ｑ／￣ｄｙ＝ Ｌ Ｏ ＋Ｑ ＝壶 （ＤＤ 一－… Ｐｙ）ｄｘｄｙ收稿日期：２００８—０５一ｏ８：修回日期：２００８一ｏ６—１Ｏ． 作者简介：唐玉华（１９５７一）女，四川岳池人，副教授，从事泛函分析研究 第５期 唐玉华：积分区域边界上含奇点的Ｇｒｅｅｎ公式应用 因此，得到围绕奇点 一周的闭曲线的曲线积分为一常数（围绕奇点 一周的闭曲线的曲线积分值 叫做区域Ｄ的循环常数）． 定理２ 设 为无重点的任意一条分段光滑的闭曲线，所围闭区域为Ｄ，闭曲线 上含有有限个奇点 。， ，…， ，函数Ｐ（ ，Ｙ），Ｑ（ｘ，），）在平面区域Ｄ上除奇点外处处具有一阶连续偏导数，￡是Ｄ的边界曲 ａｆＱ１ ａｆ １ 线，且满足 ＝半则有曲线积分： １６ ＋ ：ｆｏ，Ｍｉ岳Ｌ ｇ ’ ７ ＬＣ， Ｍｉ∈Ｌ （３） 事实上，取 ＞０充分小，围绕奇点 ， ，…， 分别取 个圆周 ， ，…， ．由上可知，沿每一闭 路的曲线积分为一循环常数，围绕这 个奇点 ， ，…， 分别作出ｎ条互不相交且包含各个奇点的闭 曲线 ，所围成的相应的各小闭区域记为 （ｉ＝１，２，…，ｎ），在Ｄ一∑Ｄ 运用格林公式，仿定理１类似地 可以证明定理２的结论成立． 例１ 已知曲线积分，＝ 二 ，１‘Ｙ １，，其中 （ ）为可微函数，且 （１）＝１．ｔＳ￣ＩＮ（ｘ—１） ＋ｙ２＝ 逆时针方向为正，求 （ ）；若Ｌ为圆周（ 一１） ＋ｙ２＝１时，计算曲线积分 解 若 为圆周（ 一１） ＋，，２ １： ，由于（０，０）不在 上，令Ｐ ，Ｑ 南・因为 Ｏｙ 一［ （芋 ）＋Ｙ２］ ’， ：Ｏｘ一 车 ［ （ ）＋Ｙ２］ ’，对任何一条不含（＾ 。工 ＨＪ一 ，。、函 ｕ０，’０ｕ １）和不经过（’¨ ０，ｕ’ｏｕ 口）的闭曲线的曲线 凹级口Ｊ’衄瓴 积分￡，由Ｇｒｅｅｎ公式都有： Ｊ ＋Ｑｄｙ＝ｏ，因此筹＝ｏ，１， ｒ缸ｔＱ， 于是一 （ ）＋ ： （ ）＋，，２一 ｔ（戈）．所以 婶 （ ）＝２ （ ）， ＝ 因为 （１）＝１，所以ｃ＝１， （ ）＝ ． ，， 若Ｌ为圆周（ 一１） ＋ｙ２＝１（图２），由于（Ｏ，０）在 上，取 ＋Ｙ ＝ｌ包 围（Ｏ，０），令Ｌｏ： ＝ｅｏ￥ ，Ｙ＝ｓｉｎ ，选取逆时针方向，其闭区域为Ｄ。，这时Ｐ＝一 Ｙ，Ｑ＝ ，由式（２）得： ２ ，＝ｆｆ （一ｏａＶ，，ｌ，￣ｘａ），＝２ 例２ 计算曲线积分： ＝２订 图２ ，一 （南＋ 与（３，４），不能直接利用格林公式． ）出＋（焉＋ ）ｄ，， 解， 号 ＋ ≮ 号 Ｏｘ： Ｏｙ：＝，１＋，２．由于被积函数在ＪＤ中含有两个奇点（。，。） 寿鲁 处魁选取 ＋，，２：。的逆时 针方向． ｆ ＼ ａｆ ＰＬ＼ ＿对，２，因 ＝ ＝ ３） ＋（Ｙ一４） ＝１的逆时针方向．由式（３）得： 籍除（３’４）外处处成立＇（３＇４） 选 一 ，＝ ）， 一戈 ＋ （），一４） 一（ 一３） ＝一 ｆ２ｄｘｄｙ一 ｄｙ＝一４ 此种计算方法箍可推广到高 公式的使用匕．当函数Ｐ（石，Ｏ＇ｏ，， ）。ｐ（ ． ， ），Ｒ（ ．，，。 ）及其偏导数在 ４６６ 重庆工商大学学报（自然科学版） 第２５卷 一 单连通区域 中含有奇点 ，且 ０ 解 ＋ 号 ＋ｄ’， Ｏ ：ｏｚ （除奇点外）。 ，…… （ ，ｙ ：叼（ ，… ），， ）：（ ，），， ）＝Ｋ（Ｋ为常数）时， 詈ｄ 出＋Ｑ ＆ｄｘ＋ｄｘｄｙ当 《 时为零；当 ∈力时为一常 （４） ｏ 数．有： － （誓＋ Ｏｙ＋箬） 出 ￣ｄｙｄｚ＋号出 ＋ ＝ ＂２ １，曲面积分取∑。的外侧． ｄｚ ｄｘ＋ ｚｄ ｘｄｙ例３ 计算曲面积分： ｘｄｙ ｄｚ ＋ｙ曲 其中 为椭球面ｘ２／１６＋ｙ２／４＋ ／９＝１的外侧 面 十十积 令Ｐ＝ ，Ｑ＝），，Ｒ＝ｚ， ＝ ＝ ＝ ，（ｏ，０，０）为被积式的奇点： 分 ｄ（Ｑ／ｎ）＋宣（ ２： ：±＋— ± ２兰＝兰 ：（ ± ± ：）主 （ ：± ：± ２ 二 ：（ ：± ：± ２主 ＋ ８了 ａｚ ｘ ＋ｙ２＋Ｚ２）。 。 （戈 ＋ｙ２＋ｚ２）。 —２＋ ＋ ）季一３ｚ２（ ＋ ＋ １÷ ＝（ ＋），２ ＋ 、。 ２，３））的外侧，由式（４）： ０，除（Ｏ，０，０）外处处成立．取 为 ＋Ｙ ＋ｚ ＝２ （取２≤ｍｉｎ（４， 糟髁 ＋ 积分为： － ＋ １ （箬＋ ＋ ） 出一Ａ 蛐出 ≠ｏ’ 面 其中， 为 ＋Ｙ ＋ ≤４． ｄｙｄｚ＋Ｑ叼ｄｚ （ ＋ ＋ ）岫出 其中， ，，叼 ，ｇ－ 为 ，７７， 中的 换成 （ ，），）． 参考文献： ［１］同济大学数学教研室．高等数学（４版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９６ ［２］董鹤年．巧用格林公式［Ｊ］．青岛化工学院学报：自然科学版，２００２（２）：９１—９３ ［３］杨浦云．格林公式的一个应用［Ｊ］．高等数学研究，２００４（２）：５０—５２ ［４］涂诗甲．曲面积分在三重积分中的应用［Ｊ］．武汉工业学院学报：自然科学版，２００５（４）：１０７—１０９ ［５］张慧．巧妙处理点洞［Ｊ］．陕西科技大学学报：自然科学版，２００６（５）：１２９一ｌ３１ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｒｅｅｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｗｉｔｈ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ＴＡＮＧ Ｙｕ—ｈｕａ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｃｈｉｎａ Ｗｅｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎａｎｃｈｏｎｇ ６３７００２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｒｅｅｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｗｉｈ ｓｔｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ，ｒｅｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ ｆｏｒｍｕｌａａｎｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｓｕａ１ ，Ｃｒｅｅｎ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒｗｅ ｃａｎ ｅｆｉｃｉｅｎｔｆｌｙ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｓｏｒｔ ，ｏｆ ｅ１．１ｉｖｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｔｈ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇｒｅｅｎ ｆｏｒｍｕｌａ；ｃｕｒｖｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｓｉｎｇｕｌａｒｉｙ；ｂｏｕｎｄａｒｔｙ ｃｕｒｖｅ 责任编辑：李翠薇