解答题《导数》答题模板
模板：函数的单调性、最值、极值问题
【典例】 (2010·天津 )已知函数 f(x)＝ ax－ 2x2＋ 1(x∈ R)，其中 a>0.
3
3
(1)若 a＝ 1，求曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2))处的切线方程；
1 1
(2)若在区间 [ － 2，2] 上， f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围．
思维启迪
(1) 由解析式和切点求切线方程，先求斜率，用点斜式方程求切线方程． (2) 根据导数求函数中的参数取值范围步骤：求导 →求导函数的零点 →
确定导函数在区间中的正、负 →确定函数中的参数范围 .
规范解答示例
解 (1) 当 a＝ 1 时， f(x)＝ x
3
3－
2
2x
2
＋1， f(2)＝3.
f′(x)＝3x－3x， f′(2)＝ 6，
所以曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2))处的切线方程为 : y－ 3＝ 6(x－ 2)，即 y＝ 6x－9.
2因为 ′(＝
－3x＝3x(ax－1)．令 f′(x)＝ 0，解得 x＝0 或 x＝1a
(2)
f x) 3ax
以下分两种情况讨论：
1 1
.
① 若 0 x f′(x) f(x) (－2， 0) ＋ 增 0 0 极大值 1 (0，2) － 减 1 f(－2)>0， 1 1 5－a 8 >0， 即 5＋a 8 >0. 当 x∈[－2，2]时， f(x)>0 等价于 1 f( 2)>0， 解不等式组得－ 5 ②若 a>2，则 0 x f′(x) f(x) (－2，0) ＋ 0 0 极大值 (0，a) － 减 f(－ a 0 (a，2) ＋ 增 增 极小值 1 2 当 x∈[－ 1 1 ， 2 )>0， 即 5 a 8 0 1 2 ]时， f(x)>0 等价于 1 f( )>0， 1 . 0 a 2 2 a 2 2 解不等式组得 2 第一步： 确定函数的定义域．如本题函数的定义域为 R. 第二步： 求 f(x)的导数 f′(x). 第三步： 求方程 f′(x)＝0 的根 . 第四步： 利用 f′(x)＝ 0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将 定义域分成若干个小开区间，并列出表格 . 第五步： 由 f′(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x)在小开区间内的单调性 . 第六步： 明确规范地表述结论 . 第七步： 反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 1 如本题中 f′(x)＝0 的根为 x1＝0，x2＝a.要确定 x1，x2 与区间端点值的大小，就必须对 a 进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点 . 规律方法总结 数学解答题虽然灵活多变，但所考查数学知识、方法，基本数学 思想是不变的，重点是思维过程、规范解答、反思回顾．结合着具体 题型给出了答题程序．希望能够举一反三，对答题有所帮助 . 训练题（. 2013 浙江 ）已知 a 32 R ，函数 f ( x) 2x 3(a 1) x Ⅰ 若 a 1，求曲线 y f ( x) 在点 处的切线方程 ； ( ) (2, f (2)) Ⅱ 若 a 1 ，求 f ( x) 在闭区间 1,2 a 上的最小值 . ( ) 解：（Ⅰ） 当 a 1 时， f ( x ) 2 x3 6x 2 6 x ， f ( x ) 6x2 12x 6 ， f (2) 6 又因为 f (2) 4 ， 所以切线方程为 y 4 6( x 2) ， 即 y 6 x 8 ) （Ⅱ 设 f ( x) 在闭区间 1,2 a 上的最小值 g( a) . f ( x) 6x2 6(a 1)x 6a 6( x 1)( x a) ， 令 f ( x) 0 ， 得 x1 1 ， x2 a ， ①当 a 1 时， x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f ′ (x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 0 单调递增 单调递减 2 单调递增 4a 3 3a-1 a (3 a) 比较 f (0)0 和 f (a)a2 (3 g( a) 0 ,1 a 3 a) 的大小可得 ： a) , a3 a2 (3 ②当 a 1 时， x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f ′ (x) - 0 + f(x)极小值 单调递增 0 单调递减 28a 3 24a 2 3a-1 由上表可得 ： g(a) 3a 1 . 6ax . 综上所述， f ( x) 在闭区间 1,2 a 上的最小值为 : 3a 0 2 1 ,a 1 g(a) ,1 a 3 a (3 a) , a 3 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容