2014 高考230398364481

山东卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知a,bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2

（A）54i（B）54i（C）34i（D）34i

（2）设集合A{x||x1|2}，B{y|y2x,x[0,2]}，则AB

（A）[0,2]（B）(1,3)（C）[1,3)（D）(1,4) （3）函数f(x)1(log2x)12的定义域为

（A）(0,)（B）(2,)（C）(0,)(2,)（D）(0,][2,)

2（4）用反证法证明命题：“已知a,b为实数，则方程xaxb0至少有一个实根”时，要做的

121212假设是

2（A）方程xaxb0没有实根

2（B）方程xaxb0至多有一个实根

2（C）方程xaxb0至多有两个实根 2（D）方程xaxb0恰好有两个实根

xy（5）已知实数x,y满足aa（0a1），则下列关系式恒成立的是

（A）

11x21y21

3（B）ln(x1)ln(y1)

22（C）sinxsiny

（D）x2y2

（6）直线y4x与曲线yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为

（A）22 （B）42 （C）2 （D）4

kPa）（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：

的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别

编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A）1 （C）12

（8）已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的

取值范围是 （A）(0,)（B）8 （D）18

12

（B）(,1)

12（C）(1,2)

（D）(2,)

（9）已知x,y满足约束条件xy10,当目标函数zaxby(a0,b0)在该约束条件下

2xy30,22取到最小值25时，ab的最小值为

（A）5 （B）4

（C）5

（D）2

x2y2x2y2（10）已知ab，椭圆C1的方程为221，双曲线C2的方程为221，C1与C2的离

abab心率之积为3，则C2的渐近线方程为 2（B）2xy0 （D）2xy0

（C）

（A）x2y0

x2y0

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 .

（12）在ABC中，已知ABACtanA，当A时，ABC的面积为 . 6（13）三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，

PABC的体积为V2，则

bxV1 . V224（14）若(ax)的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为 . （15）已知函数yf(x)(xR).对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为

对任意xI，两个点(x,h(x))，(x,g(x))关于点(x,f(x))yh(x)(xI)，yh(x)满足：对称.若h(x)是g(x)，且h(x)g(x)恒成立，4x2关于f(x)3xb的“对称函数”

则实数b的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）

已知向量a(m,cos2x)，b(sin2x,n)，设函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点

(2,2).

123（Ⅰ）求m,n的值； ,3)和点(（Ⅱ）将yf(x)的图象向左平移（0）个单位后得到函数yg(x)的图象.若

yg(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调增区间.

（17）（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCDA1BC11D1中，底面

ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，

M是线段AB的中点.

（Ⅰ）求证：C1M//A1ADD1；

（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD13，

求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐

角）的余弦值.

（18）（本小题满分12分）

乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率

11，在D上的概率为；对落点在B上的来球，231小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概

53率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次，

5为

小明的两次回球互不影响.求：

（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望。 （19）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn(1)n14n，求数列{bn}的前n项和Tn. anan1（20）（本小题满分13分）

ex2设函数f(x)2k(lnx)（k为常数，e2.71828是自然对数的底数）.

xx（Ⅰ）当k0时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围. （21）（本小题满分14分）

已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA||FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为

2正三角形。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题

1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D

7.C

8.B

9.B

10.A

二、填空题

11.3 12.16 13.

14 14.2

三、解答题 16.解：

（Ⅰ）由题意知f(x)abmsin2xncos2x

因为yf(x)的图像过点(12,3)和(23,2) 15.(210,)

3msinncos66所以

442msinncos33133m22即 23m1n22解得m3,n1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)3sin2xcos2x2sin(2x由题意知g(x)f(x)2sin(2x26)

6)

设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知x0211，所以x00

即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2） 将其代入yg(x)得sin(2因为0，所以因此g(x)2sin(2x6)1

6

2)2cos2x

由2k2x2k,kZ，得

k2xk,kZ

所以，函数yg(x)的单调递增区间为[k17.

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，

且AB2CD

2,k],kZ

所以AB//DC，又由M是AB的中点， 因此CD//MA且CDMA

连接AD1

在四棱柱ABCDA1BC11D1中， 因为CD//C1D1,CDC1D1 可得C1D1//MA,C1D1MA 所以，四边形AMC1D1为平行四边形 因此C1M//D1A

又C1M平面A1ADD1,D1A平面A1ADD1 所以C1M//平面A1ADD1

（Ⅱ）解法一：

连接AC,MC

由（Ⅰ）知CD//AM且CDAM 所以，四边形AMCD为平行四边形 可得BCADMC 由题意ABCDAB60 所以，MBC为正三角形 因此AB2BC2,CA3 因此CACB

以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz 所以A(3,0,0),B0,1,0,D1(0,0,3) 因此M(31,,0) 223131,,3),D1C1MB(,,0) 2222所以MD1(设平面C1D1M的一个法向量n(x,y,z)

nD1C103xy0由得 nMD103xy23z0可得平面C1D1M的一个法向量n(1,3,1) 又CD1(0,0,3)为平面ABCD的一个法向量 因此cosCD1,nCD1n5 5|CD1||n|5 5所以，平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为解法二：

ABCDAB 由（Ⅰ）知平面DC11M平面

过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N 由CD1平面ABCD，可得D1NAB 因此D1NC为二面角C1ABC的平面角 在RtBNC中，BC1,NBC60

可得CN3 222所以ND1CD1CN15 23CN52在RtD1CN中，cosD1NC D1N5152所以，平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为18.解：

5 5（Ⅰ）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)

则P(A3)11111,P(A1),P(A0)1 23236记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3) 则P(B3)13131,P(B1),P(B0)1 55555记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上” 由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3 由事件的独立性和互斥性，

P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)

P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)

P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)

111113113 2535656510所以，小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为

（Ⅱ）由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，6，

由事件的独立性和互斥性，得

3 10111P(0)P(A0B0)

653011131P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)

35656131P(2)P(A1B1)

35511112P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)

255615131111P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)

253530111P(6)P(A3B3)

2510可得，随机变量的分布列为：

 P 0 1 2 3 4 6 112111 6515103011121119112346 所以，数学期望E030651530103019.解：

（Ⅰ）因为S1a1,S22a11 302122a12 2S44a14324a112 2由题意得(2a12)2a1(4a112) 解得a11 所以an2n1 （Ⅱ）bn(1)n14n4n (1)n1anan1(2n1)2n111(1)n1

2n12n1当n为偶数时，

1111111Tn1...

3352n32n12n12n11 2n12n 2n11当n为奇数时，

1111111Tn1...

3352n32n12n12n111 2n12n2 2n12n2,n为奇数2n1所以，Tn

2n,n为偶数2n+12n1(1)n1（或Tn）

2n120.解：

（Ⅰ）函数yf(x)的定义域为(0,)

x2ex2xex21f(x)k()

x4x2xxex2exk(x2) 32xx(x2)(exkx) 3xx由k0可得ekx0

所以，当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减；

当x(2,)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增。 所以，f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,) （Ⅱ）由（Ⅰ）知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，

故f(x)在(0,2)内不存在极值点；

当k0时，设函数g(x)exkx,x[0,) 因为g(x)ekee当0k1时

当x(0,2)时，g(x)ek0,yg(x)单调递增 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；

xxxlnk

当k1时，

得x(0,lnk)时，g(x)0，函数yg(x)单调递减，

x(lnk,)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增

所以，函数yg(x)的最小值为g(lnk)k(1lnk) 函数f(x)在（0，2）内存在两个极值点

g(0)0g(lnk)0当且仅当

g(2)00lnk2e2解得ek

2e2综上所述，函数f(x)在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为(e,)

221.解：

（Ⅰ）由题意知F(p,0) 2p2t,0) 4设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(因为|FA||FD| 由抛物线的定义知3pp|t| 22解得t3p或t3（舍去） 由

p2t3，解得p2 42所以，抛物线C的方程为y4x （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知F(1,0)

设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0)， 因为|FA||FD|，则|xD1|xD1

由xD0得xDx02，故D(x02,0) 故直线AB的斜率kABy0 2因为直线l1和直线AB平行 设直线l1的方程为y代入抛物线方程得y2y0xb 288by0 y0y0由题意6432b2，得 0b2y0y0y044,xE2 y0y0设E(xE,yE)，则yE当y024时，kAE4y0yEy0y04y0 22y4xEx0y040y0244y0(xx0)， 2y04可得，直线AE的方程为yy0由y024x0， 整理可得y4y0(x1)

y024直线ZE恒过点F(1,0)

当y024时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0) 所以，直线AE过定点F(1,0)

（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点F(1,0)

所以|AE||AF||FE|(x01)(111)x02 x0x0设直线AE的方程为xmy1 因为点A(x0,y0)在直线AE上， 故mx01 y0设B(x1,y1)

直线AB的方程为yy0由于y00 可得xy0(xx0) 22y2x0， y02代入抛物线方程得y8y84x00 y0所以y0y8， y084，x1x04 y0x0可求得y1y0所以点B到直线AE的距离为

|d48x04m(y0)1|x0y01m2

4(x01) x01) x01114(x0)(x02)16 2x0x04(x0则ABE的面积S当且仅当

1x0即x01时等号成立 x0所以ABE的面积的最小值为16